證明如果關係 R 在 3NF 中並且如果 R 中的每個鍵都是簡單的，那麼 R 在 BCNF 中？

“如果一個鍵只包含一個屬性，那麼它就是簡單的”。證明如果關係 R 在 3NF 中並且如果 R 中的每個鍵都是簡單的，則 R 在 BCNF 中。你的證明應該是一般的，例如，它不應該假設 R 有固定數量的，比如兩個或三個，屬性。

解決方案：

考慮FD X -> Y在 R 中成立的一個。由於 R 在 3NF 中，要麼

1. X 是一個超級鍵或
2. Y 是密鑰的成員。

在第二種情況下，由於 R 中的每個鍵都是簡單的，因此 Y 本身就是一個鍵，這意味著 X 是一個超鍵。因此，X -> Y在任何一種情況下都不會違反 BCNF，這意味著 R 在 BCNF 中。

除了最後一部分，我什麼都懂；Y 是一個鍵意味著 X 是一個超級鍵。有人可以詳細說明嗎？

有趣的問題（我現在正好在讀 Ullman 的書）。我認為答案是這樣的：

假設這X不是超級鍵。然後，每個屬性Y都是一個鍵的成員（是素數）。由於每個鍵由一個屬性組成，y -> {every other attribute}，其中y是 的成員Y。然後通過傳遞性，X -> {every other attribute}，這意味著它X是一個超鍵。我們與最初的假設相矛盾，即X不是超級密鑰，因此X必須是超級密鑰。

證明中最重要的部分是傳遞性部分。

引用自：https://dba.stackexchange.com/questions/160394